欧拉示性数

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(Euler characteristic)是一个拓扑不变量(事实上,皇家贝蒂斯是同伦不变量),对于一大类拓扑空间有定义。

如果一个拓扑空间 X 有有限的三角剖分 h:X→ K,X 的欧拉示性数

定义为它的剖分复形 K 的各个维数单纯形个数(即单纯链复形的秩)的交错和,即

对于有限CW-复形(CW-Complex)包括有限单纯复形(simplicial complex),欧拉示性数可以定义为交错和

然后,可以把流形的欧拉示性数定义为一个和它同胚的单纯复形的欧拉示性数。例如,圆圈环面其欧拉示性数为0而实心球欧拉示性数为1。

对于闭黎曼曲面,欧拉示性数也可以通过曲率的积分得到—参看对于二维情况的高斯-博内定理(Gauss-Bonnet)和对于一般情况的广义高斯-博内定理。高斯-博内定理的离散情况的对应是笛卡儿定理,它表明多面体用完整圆圈测量的“总亏量” ,是多面体的欧拉示性数;参看亏量。

从这个定义和庞加莱对偶性,可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。

是拓扑空间 X 的第 i 个贝蒂数,这一公式称为欧拉-庞加莱公式。该公式亦说明了欧拉示性数不依赖于剖分的选取,是一个拓扑不变量。

从多面体去掉一面,通过把去掉的面的边互相拉远,把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性,可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是,点,边和面的个数保持不变,和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部)。

1、若有一个多边形面有3条边以上,我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。

2、除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。

3、(逐个)除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。

有界偏序集(partially ordered set,简称poset)的欧拉示性数的概念是另一种推广,在组合论中很重要。一个偏序集“有界”,如果它有最小和最大元素,我们把它们叫作 0 和 1 。这样一个偏序集的欧拉示性数是 μ(0,1) ,其中 μ 是在偏序集的相交代数(incidence algebra)中的默比乌斯函数。

manbext

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